Lectures in Mathematics for University Students

Arseniy Akopyan, Некоторые задачи дискретной геометрии (Some problems of Discrete Geometry)

Abstract: Лекции будут посвященны различным вопросам дискретной и выпуклой геометрии.
1) Триангуляции Делоне и разбиения Вороного
2) Теорема Борсука–Улама и её приложения
3) Задача Банга о покрытии полосками
4) Теорема Хелли и её применения
5) Классические теоремы геометрии трехмерных многогранников.

Все необходимые определения будут даны во время лекций и для понимания материала дополнительных знаний, выходящих за рамки первого курса университета, не требуется.

Hakop Hakopian, Միջարկում մի քանի փոփոխականի բազմանդամներով (Interpolation by polynomials of several variables)

Abstract: Դասընթացը նվիրված կլինի հետևյալ թեմաների քննարկմանը.

• Բազմաչափ միջարկման ճշգրտությունը,
• Բեզուի թեորեմը մի քանի փոփոխականի բազմանդամներով,
• Բերզոլարի – Ռադոնի կոնստրուկցիան,
• Չանգ – Յաոյի կոնստրուկցիան,
• Լագրանժի և Հերմիթի միջարկում,
• Լագրանժի և Նյուտոնի բանաձևերը բազմաչափ դեպքում,
• Անկախ և կախյալ կետերի համակարգեր,
• 2 հանրահաշվական կորերի հատման կետերի մասին,
• Պասկալի, Մաքս Նյոթերի, Քելի-Բախարախի թեորեմները:

Armen Inants, Qualitative spatial calculi for playing Angry Birds

Abstract: Angry Birds is a popular video game, where the task is to kill pigs protected by building blocks, rocks or specifically profiled ground, the behavior of which reflects the laws of physics.
These structures can be destroyed by shooting the angry birds at them. The fewer birds we use and the more blocks we destroy, the higher the score. Every year since 2013, the community of artificial intelligence researchers organizes a competition between the human champion and computer agents in playing Angry Birds. The goal is to develop an algorithm that outperforms humans. I will present an approach to solve the game by analyzing the structure of protecting physical objects and identifying its strength and weaknesses. This approach is based on the theory of relation algebras (Tarski) and the related theory of qualitative calculi.

Lectures will be in Armenian.

Alexei Kanel-Belov, Интересная Математика,

Abstract: Лекции будут посвящены следующим темам:

1.  Interlocked structures
   Известна олимпиадная задача: На плоском столе лежат монеты (выпуклые фигуры). Тогда одну из них можно стащить со стола, не задевая остальных. Долгое время математики пытались доказать пространственный аналог этого утверждения, пока не был построен контрпример!Возникла идея: в малом зерне часто нет трещины, трещина за границу зерна не вырастает, а трещины друг друга держат. Эта идея теоретически позволяет создавать композиты в которых не растут трещины, в частности, броню из керамики. В дальнейшем Ю. Эстриным на полученный мегагрант Правительства РФ (2013) создана исследовательская лаборатория.Рассказ посвящен самозаклинивающимся структурам.
2. Что такое матанализ?
   Л.Камынин сделал замечание студенту, что отвечает не по его лекции.- что я сдаю? Матанализ или Ваши лекции? – Вы должны сдавать мои лекции.А где здесь тут сдают математический анализ?Что такое матанализ?Это не хренотень вроде вычисления пределов типа такого $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ по определению и не интеллектуальный мусор типа дедекиндовых сечений, заполняющий университетские и матшкольные программы.Аналитическое мышление – это видение главного и второстепенного, того чем можно пренебречь. ИПредполагается рассказать несколько сюжетов, относящихся к физике, вероятности и собственно ТФДП на наглядном уровне.
3. Лекции о теории групп, малых сокращениях и неевклидовой геометрии.

Karen Keryan, Լիուվիլի թեորեմը կամ ինչու՞  հնարավոր չէ որոշ ինտեգրալներ արտահայտել տարրական ֆունկցիաներով (Liouville’s theorem or why some indefinite integrals cannot be expressed in terms of elementary functions?)

Abstract: Գաուսյան ֆունկցիաները, որոնցից է $e^{-x^2}$-ն, լայնորեն օգտագործվում են վիճակագրության մեջ,  որտեղ նրանք բնութագրում են նորմալ բաշխումը, տվյալների ու պատկերների մշակման մեջ, որոնց միջոցով սահմանվում են Գաուսյան ֆիլտրերը, և այլուր:  Այդ և ուրիշ կիրառություններում հարկ է լինում գործ ունենալ $e^{-x^2}$-ու նախնականների հետ, այդ իսկ պատճառով հետաքրքիր է արդյո՞ք հնարավոր է այդ նախնականներն արտահայտել տարրական ֆունկցիաներով:

Դասախոսությունների ընթացքում  հստակ կսահմանենք տարրական ֆունկցիաներով արտահայտվելու գաղափարը և կձևակերպենք Լիուվիլի թեորեմը, որը բնութագրում է նախնականի հնարավոր տեսքը՝ տարրական ֆունկցիաներով արտահայտվելու դեպքում: Այդ թեորեմի օգնությամբ ցույց կտրվի, որ տարբեր ինտեգրալներ, օրինակ, լոգարիթմական ինտեգրալը, որը գալիս է պարզ թվերի բաշխման ուսումնասիրությունից, չեն արտահայտվում տարրական ֆունկցիաներով:

Seminar Talks in Mathematics for University Students

In addition to the lectures above, some seminar talks will be delivered for participants:

Anush Tserunyan, Դեսկրիպտիվ Բազմությունների Տեսություն (Descriptive Set Theory)

1. Դեսկրիպտիվ բազմությունների տեսության ծնունդը
   Համադրելով մեթոդներ և գործիքներ տարբեր մաթեմատիկական դիսցիպլիններից, ինչպիսիք են իրական անալիզը, բազմությունների տեսությունը, տոպոլոգիան և ռեկուրսիայի տեսությունը՝ դեսկրիպտիվ բազմությունների տեսությունն ուսումնասիրում է սահմանվող (նկարագրվող, այսպես կոչված՝ դեսկրիպտիվ) բազմություններն ու ֆունկցիաները լեհական տարածություններում, օրինակ՝ իրական թվերի տարածությունում։ Սահմանվող բազմությունների տիպիկ օրինակ են բաց կամ փակ բազմությունները, նրանց հաշվելի միավորումներն ու լրացումները և, առհասարակ, Բորելյան բազմությունները։ Անցյալ դարի սկզբին Լեբեգը հրապարակեց հոդված, որում ապացուցում էր, որ Բորելյան բազմությունների պրոյեկցիաները կրկին Բորելյան բազմություններ են, սակայն 10 տարի անց Սուսլինը սխալ գտավ հիմա արդեն անեկդոտ դարձած այդ ապացույցի մեջ և, ավելին, կառուցեց Բորելյան բազմություն, որի պրոյեկցիան Բորելյան չէ։ Այսպիսով, Բորելյան բազմությունների պրոյեկցիաները ստացան անուն՝ անալիտիկ բազմություններ՝ տալով ծնունդ նոր, գրավիչ և հզոր տեսության։
   Մեր առաջին դասախոսությունը նվիրված կլինի Բորելյան և անալիտիկ բազմությունների սահմանումներին և, իհարկե, Սուսլինի անալիտիկ թերևս ոչ Բորելյան բազմության կառուցմանը։
2. Դեսկրիպտիվ բազմությունների հատկությունների հետազոտությունը անվերջ խաղերի միջոցով
   Անցյալ դարի առաջին կեսին դեսկրիպտիվ բազմությունների տեսությունը հիմնականում զբաղված էր սահմանվող բազմությունների հատկությունների հետազոտությամբ։ Օրինակ՝ չափելի՞ են արդյոք անալիտիկ բազմությունները. Լուզինն ապացուցեց, որ այո։ Ուստի չափելի են նաև, այսպես կոչված, կո-անալիտիկ բազմությունները՝ անալիտիկ բազմությունների լրացումները։ Սակայն, ի զարմանս բոլորի, շուտով պարզվեց, որ կո-անալիտիկ բազմությունների պրոյեկցիաների չափելիության հարցն արդեն անկախ է մեր, այսինքն՝ Ցերմելո-Ֆրենկելյան, աքսիոմատիկ համակարգից։
   Չափելիության հետ մեկտեղ, ուսումնասիրվող հատկությունների շարքին են պատկանում նաև Բեռի հատկությունը, կատարյալ բազմության հատկությունը և Ռամսիի հատկությունը։ Պարզվում է, որ բնույթով տարբեր բոլոր այս հատկությունները հետևում են որոշակի անվերջ խաղերի դետերմինացվածությունից, այսինքն՝ խաղացողներից մեկի համար հաղթող ստրատեգիայի գոյությունից։
   Այս դասախոսությանը կքննարկենք վերը նշվածը և կխաղանք անվերջ մի խաղ, որի «վերջում» կհետևի կատարյալ բազմության հատկությունը։
3. Դեսկրիպտիվ էկվիվալենտության հարաբերություններ և գրաֆներ
   Վերջին 25-30 տարիներում դեսկրիպտիվ բազմությունների տեսության ուշադրության կենտրոնում են սահմանվող (օրինակ՝ Բորել, անալիտիկ) էկվիվալենտության հարաբերությունները և նրանց համար կլասիֆիկացիայի գոյությունը։ Օրինակ՝ մատրիցների նմանության հարաբերության համար կլասիֆիկացիա է հանդիսանում Ջորդանի կանոնիկական ձևը։ Մյուս կողմից, կարելի է ապացուցել, որ իրական թվերի միջև առկա, այսպես կոչված, Վիտալիի էկվիվալենտության հարաբերության (նշանակենք E_Վ-ով) համար գոյություն չունի կլասիֆիկացիա, թեև ինքնին հարաբերությունը շատ հեշտ է սահմանվում. x E_Վ y եթե (x-y)-ը ռացիոնալ թիվ է։ Պարզ է, որ եթե որևէ էկվիվալենտության հարաբերություն E իր մեջ «պարունակում է» E_Վ-ի պատճենը, ապա կլասիֆիկացիա գոյություն չունի նաև E-ի համար։ Պարզվում է՝ Բորելյան էկվիվալենտության հարաբերությունների համար սա է կլասիֆիկացիայի միակ խոչնդոտը, այսինքն՝ կա՛մ հարաբերությունն ունի կլասիֆիկացիա, կա՛մ էլ պարունակում է E_Վ-ի պատճեն։ Վերջինս Հարինգտոն-Կեխրիս-Լուվոյի 1990թ.-ին ապացուցած հանրաճանաչ թեորեմն է, որը դեսկիպտիվ բազմությունների տեսության համար բացեց տարաբնույթ կիրառությունների տանող նորանոր դռներ՝ ծնելով նոր ուղղություններ ու խնդիրներ։

   Մեր վերջին դասախոսությանը կբերվեն սահմանվող էկվիվալենտության հարաբերությունների «առօրյայում», այսինքն՝ մաթեմատիկայի այլ ճյուղերում, հանդիպող օրինակներ, կսահմանվի կլասիֆիկացիայի հասկացությունը և կապացուցվի, որ E_Վ-ի համար վերջինս գոյություն չունի։ Վերջում կքննարկվի կլասիֆիկացիայի կապը սահմանվող գրաֆների Բորելյան ներկումների գոյության հետ և կբերվի ցիկլ չպարունակող Բորելյան գրաֆի օրինակ, որը Բորելյան ձևով ներկելու համար անհրաժեշտ է կոնտինուում հատ գույն։